선형 대수 예제

$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} - \frac{4}{z} = 1$ , $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} + \frac{8}{z} = 0$ , $- \frac{1}{x} + \frac{9}{y} + \frac{10}{z} = 5$

단계 1

연립방정식을 행렬 형태로 씁니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{1} & \frac{2}{1} & - \frac{4}{1} & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

단계 2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{1} & - \frac{4}{1} & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

단계 2.2

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - \frac{4}{1} & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

단계 2.3

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \cdot 4 & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

단계 2.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ \frac{2}{1} & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

단계 2.5

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & \frac{3}{1} & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

단계 2.6

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & \frac{8}{1} & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

단계 2.7

$8$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

단계 2.8

$1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.8.1

공약수로 약분합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - \frac{1}{1} & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

단계 2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 \cdot 1 & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

단계 2.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 & \frac{9}{1} & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

단계 2.10

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 & 9 & \frac{10}{1} & 5 \end{array}]$

단계 2.11

$10$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 & 3 & 8 & 0 \\ - 1 & 9 & 10 & 5 \end{array}]$

단계 2.12

행연산 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 을 수행하여 $2, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 2.12.1

행연산 $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ 을 수행하여 $2, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 3 - 2 \cdot 2 & 8 - 2 \cdot - 4 & 0 - 2 \cdot 1 \\ - 1 & 9 & 10 & 5 \end{array}]$

단계 2.12.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & - 1 & 16 & - 2 \\ - 1 & 9 & 10 & 5 \end{array}]$

단계 2.13

행연산 $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ 을 수행하여 $3, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 2.13.1

행연산 $R_{3} = R_{3} + R_{1}$ 을 수행하여 $3, 1$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & - 1 & 16 & - 2 \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 9 + 1 \cdot 2 & 10 - 4 & 5 + 1 \cdot 1 \end{array}]$

단계 2.13.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & - 1 & 16 & - 2 \\ 0 & 11 & 6 & 6 \end{array}]$

단계 2.14

$R_{2}$ 의 각 성분에 $- 1$ 을 곱해서 $2, 2$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

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단계 2.14.1

$R_{2}$ 의 각 성분에 $- 1$ 을 곱해서 $2, 2$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ - 0 & - - 1 & - 1 \cdot 16 & - - 2 \\ 0 & 11 & 6 & 6 \end{array}]$

단계 2.14.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 & 11 & 6 & 6 \end{array}]$

단계 2.15

행연산 $R_{3} = R_{3} - 11 R_{2}$ 을 수행하여 $3, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 2.15.1

행연산 $R_{3} = R_{3} - 11 R_{2}$ 을 수행하여 $3, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 - 11 \cdot 0 & 11 - 11 \cdot 1 & 6 - 11 \cdot - 16 & 6 - 11 \cdot 2 \end{array}]$

단계 2.15.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 & 0 & 182 & - 16 \end{array}]$

단계 2.16

$R_{3}$ 의 각 성분에 $\frac{1}{182}$ 을 곱해서 $3, 3$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

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단계 2.16.1

$R_{3}$ 의 각 성분에 $\frac{1}{182}$ 을 곱해서 $3, 3$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ \frac{0}{182} & \frac{0}{182} & \frac{182}{182} & \frac{- 16}{182} \end{array}]$

단계 2.16.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & - 16 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

단계 2.17

행연산 $R_{2} = R_{2} + 16 R_{3}$ 을 수행하여 $2, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 2.17.1

행연산 $R_{2} = R_{2} + 16 R_{3}$ 을 수행하여 $2, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 + 16 \cdot 0 & 1 + 16 \cdot 0 & - 16 + 16 \cdot 1 & 2 + 16 (- \frac{8}{91}) \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

단계 2.17.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 4 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

단계 2.18

행연산 $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ 을 수행하여 $1, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.18.1

행연산 $R_{1} = R_{1} + 4 R_{3}$ 을 수행하여 $1, 3$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & 2 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 1 + 4 (- \frac{8}{91}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

단계 2.18.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & 0 & \frac{59}{91} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

단계 2.19

행연산 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 을 수행하여 $1, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

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단계 2.19.1

행연산 $R_{1} = R_{1} - 2 R_{2}$ 을 수행하여 $1, 2$ 의 항목을 $0$ 로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & \frac{59}{91} - 2 (\frac{54}{91}) \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

단계 2.19.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{7}{13} \\ 0 & 1 & 0 & \frac{54}{91} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{8}{91} \end{array}]$

단계 3

결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x = - \frac{7}{13}$

$y = \frac{54}{91}$

$z = - \frac{8}{91}$

단계 4

해는 연립방정식을 참이 되게 하는 순서쌍의 집합입니다.

$(- \frac{7}{13}, \frac{54}{91}, - \frac{8}{91})$

단계 5

각 행의 종속 변수에 대해 식을 풀고 기약행 사다리꼴 형태의 첨가 행렬로 표현된 각 방정식을 재정렬함으로써 벡터해를 분해하여 벡터 등식을 구합니다.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} - \frac{7}{13} \\ \frac{54}{91} \\ - \frac{8}{91} \end{array}]$